Month: October 2013

בוחן פתע!

בסוף השבוע אומר מורה לכיתה שבשבוע הבא יהיה בוחן פתע באחד הימים. קם תלמיד ואומר שלא ייתכן שהבוחן יהיה ‘פתע’, לפי הלוגיקה הבאה: ראשית, ברור שהבוחן לא יכול להיות ביום שישי, שכן אם יגיע יום חמישי והבוחן עוד לא ניתן, אז התלמידים יודעים שהבוחן יינתן בשישי ולפיכך הוא לא יהיה מפתיע. אם כן, די ברור שהבוחן לא יכול להתקיים (בהנחה שאכן יהיה מפתיע) בשישי.

 מכאן נובע שהבוחן יכול להיות לכל המאוחר בחמישי, ואם יגיע יום רביעי ועוד לא ניתן, אז התלמידים יידעו שכיוון שהבוחן איננו יכול להיות בשישי, הוא בטוח יהיה בחמישי, ולכן יידעו לצפות לו, ולא יופתעו. אם כן, די ברור שהבוחן לא יכול להתקיים (בהנחה שאכן יהיה מפתיע) בחמישי.

 ‘קל לראות’ שלפי אותה הלוגיקה, הבוחן אף לא יכול להתקיים ברביעי, שלישי, שני וראשון ולכן לא יכול להיות מפתיע בכלל. ועם זאת, במבחן המציאות המורה נותן את הבוחן ביום שני וכולם בכל זאת מופתעים. איפה הטעות הלוגית שלנו, אם כן?

 —

למרות שהיא ‘ללא הפסקה’, רק תנסו למצוא בית קפה פתוח ביום חמישי בשלוש לפנות בוקר באיזור צפון אבן-גבירול. אין כזה (בחיפה, אגב, גרג פתוח 24/7. ג’אסט סיינג), וכך נועם ואני מצאנו את עצמנו יושבים לפנות בוקר על פרוסת פיצה שמנונית (12 שקל, 15 עם ביצה, הילדים הערסים מסביב זה בחינם), מתעפצים ומתווכחים, איך לא, על פרדוקס לוגי, הנ”ל.

 הקהל האינטיליגנטי, בוודאי האקדמי וקל וחומר בוגרי לימודי מדעי הטבע, רגיל לראות להטוטנות לוגית ולהניח שאם רק יתרכז לכמה דקות יצליח לזהות את הבעיה ולפתור אותה בנקל. הופתעתי לראות שגם אחרי מאמץ די ממושך, אנחנו לא הצלחנו להגיע לפיתרון מניח את הדעת.

 אם היינו עושים חיפוש איטרנטי זריז על הסוגייה (נגיד, קוראים את הערכים בויקיפדיה או בויקיפדיה בעברית) היינו רואים (רק בגרסה האנגלית, כן? הוכחה נוספת למה אסור לסמוך על הציוֹנים) שלמעשה מדובר בבעיה לא טריוויאלית בעליל, ולמעשה כזו שאין הסכמה לגבי האם/איך היא פתורה. לקהל הסקרן באמת, מאמר מרכזי שמבצע סקירת ספרות אודות הפרדוקס מציג את כל הנושא בצורה מעולה ומהווה קריאה מוצלחת מאוד. אצטט:

 The natural reaction to a paradox like this is to try to resolve it. Indeed, if you have not seen this paradox before, I encourage you to try to resolve it now before reading on. However, I do not want to discuss the resolution of the paradox right away. Instead, for reasons that should become apparent, I discuss what I call the meta­paradox first.

The meta­paradox consists of two seemingly incompatible facts. The first is that the surprise exam paradox seems easy to resolve. Those seeing it for the first time typically have the instinctive reaction that the flaw in the students’ reasoning is obvious. Furthermore, most readers who have tried to think it through have had little difficulty resolving it to their own satisfaction.

The second (astonishing) fact is that to date nearly a hundred papers on the paradox have been published, and still no consensus on its correct resolution has been reached. The paradox has even been called a significant problem for philosophy [30, chapter 7, section VII]. How can this be? Can such a ridiculous argument really be a major unsolved mystery? If not, why does paper after paper begin by brusquely dismissing all previous work and claiming that it alone presents the long­-awaited simple solution that lays the paradox to rest once and for all?

 כהערת שוליים, שועשעתי לראות שגם נועם ואני וגם במאמר הנ’ל, מהר מאוד מבצעים רדוקציה ל’שבוע בן יומיים’, קרי לבעיה פשוטה ביותר: אם אני אומר לך שאתקשר אליך או מחר או מחרתיים, האם תופתע מבחירת היום בו אתקשר אליך? שהרי אם מחר לא אתקשר תדע שזה יהיה מחרתיים ולכן לא תופתע ולכן זה לא יכול להיות מחרתיים, ולכן זה יכול להיות רק מחר, ולכן לא תופתע אם אתקשר מחר, ומכאן אינני יכול להפתיע אותך כלל. ועם זאת, ‘במבחן המציאות’ אם אתקשר מחר – כן תופתע.

 מרתק. בחזרה לביצתנו הקטנה – הבעיה לא נתנה (ולראיה, לא נותנת) לי מנוח. לו הייתי רק ניגש לאינטרנטים, הייתי רואה שלא רק שרבים ניסו ונכשלו לפתור אותה, אלא שגם הפיתרונות המוצעים (וראו המאמר המלונקק לעיל) נסחפו למחוזות אפיסטמולוגים מפחידים, משפטי חוסר-קונסיסטנטיות של גדל ונוסחאות מתמטיות מפחידות. (כאלו שנועם ואני ניסינו לשרבט על מפית ב-3 בבוקר, ונכשלנו כישלון די חרוץ).

 כפי שאומר המחבר Chow, לקורא הסקרן אני מציע לא להמשיך הלאה בקריאה אלא לנסות ולפתור את הבעיה לבד. כפי שאף אומר הנ’ל, נסו להגיע לפיתרון משלכם – אך אם הגעתם, ודאו שהוא אכן פותר את הבעיה, ולא רק מתחמק ממנה. בפרט, לפי טענת האינדוקציה, אני מעוניין לראות פיתרון שפותר את ‘ההשלכה על העולם האמיתי’, שכן האינטואיציה שלי לא מצאה עד כה פגם בהסבר לפיו המבחן אכן לא יכול להיות בשישי (כי אז הוא לא יפתיע), ואם הוא לא יכול להיות בשישי גם לא יוכל להיות בחמישי (כי גם אז לא יפתיע), וכן הלאה. ושוב אזהיר מפני “אשליית המדמ’חניק”, אשר היא “אה, מה הבעיה, אם רק נפרמל את זה אז נראה שיש סתירה פנימית ולכן זה די פשוט”. תראו לי הוכחה.

 —

 אוקיי, אוקיי, אז חפרנו. וכפי שכותב Chow:

why does paper after paper begin by brusquely dismissing all previous work and claiming that it alone presents the long­awaited simple solution that lays the paradox to rest once and for all?

 אני לא קראתי לעומק את כל שאר הפתרונות שכן הם נראו ארוכים ומפחידים. רק ארצה לשתף את הפיתרון שהגעתי אליו בעצמי, בהברקה של התגלות שאני אשמח לקבל עליה תגובות (האם כבר ציינו אותה? אשמח לקבל הפניה, או כל תגובה אחרת). ושוב, אמליץ לקורא הסקרן לנסות את כוחו לבדו במקום להמשיך הלאה, אך ניסיון החיים אומר שאין זה טבע האדם לדחות סיפוקים בצורה הזו. אם כן, להלן דעתי הצנועה לגבי פיתרון אפשרי לסוגיה זו, ולטעות הלוגית (מבחינתי, היחידה?) שבאינדוקציה.

 ראשית אגיד, בדיוק כפי שתואר לעיל, שאם הבוחן לא יכול להתקיים בשישי מפני שלא יהיה מפתיע, אכן לא יוכל להתקיים גם בחמישי, בדיוק מאותן הסיבות. אכן, נניח וטיעוני התלמיד צודקים ולא ניתן לקיים את הבוחן בשישי, אז כבר ביום ראשון עובדה זו ידועה, ואפשר להתחשב בה בכל שלב. לא יהיה בוחן בשישי. ואכן, לפי אותה הלוגיקה, גם לא יהיה בחמישי, וכן הלאה. אני אינני רואה פגם בטענה זו. אם כן, למעשה החולשה היחידה שנותרה לנו לבדוק היא הטענה שהבוחן לא יוכל להקיים בשישי.

 (תופים..)

 אומר התלמיד – הבוחן לא יכול להתקיים בשישי, שהרי אם יגיע יום חמישי בערב ועוד לא היה הבוחן, אז נדע שהוא יהיה בשישי, ומכאן לא נופתע, בסתירה לכך שהבוחן אמור להיות בוחן פתע. כאן, ורק כאן, האשלייה. שכן, בהגיע סוף יום הלימודים ביום חמישי (או בחצות) – *רק* באותו הרגע התלמידים מבינים שהבוחן עומד להיות בשישי וזוהי הפתעה עבורם. באותו הרגע הם מגלים שהבוחן יהיה בשישי. הם לא ידעו זאת ‘מראש’, וזהו רגע ה’הפתעה’ של הבוחן. וכך הבוחן אכן יכול להיות בשישי והוא אכן מפתיע.

 ההבדל היחיד נעוץ בכך שאילו הבוחן נערך בחמישי (או רביעי, או שלישי) התלמידים ‘מופתעים’ ורגע  ההפתעה הוא רק ברגע הבשורה על הבוחן (אם נניח לשם פשטות שאת הבוחן נותנים בהתראה של רגע). אם המבחן ניתן בשישי, אזי רגע ה’הפתעה’ הוא אכן בלילה הקודם, אבל הוא אכן מפתיע. וכך, הבוחן יכול להינתן בשישי והוא אכן יהיה מפתיע. מיד נפתרת גם הבעיה של יום חמישי, וכך הפרדוקס כולו.

 הרחבה להסבר יכולה להינתן אם נדמיין שהבוחן יכול להינתן בכל רגע ביממה, בהתראה של רגע, ונמשך רגע בלבד. קרי, נוריד את הדיסקרטיזציה של הימים. כאן, כך נראה לי, ברור עוד יותר שאין שום בעיה של הפתעה: עד לרגע הלפני-אחרון אין התלמידים יודעים מתי ייערך הבוחן, ורק ברגע הלפני-האחרון הם יודעים שהבוחן ייערך ברגע האחרון – ואז הם מופתעים, בדיוק כמו לפני כל רגע אחר.

נראה אם ל-Math Overflow יהיה משהו חכם להגיד בנושא: bit.ly/16mdJlP.

 Today was a good day for science. 🙂

 הערות, טענות, בעיות, מענות, ופרס נובל ניתן לשלוח לי ל-sella.rafaeli@gmail.com.

Advertisements